ГЛАВА VIII

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ

Математика

Перевод градусной меры в радианную

Длина дуг окружности радиуса 1 (единица).

Дуга, равная радиусу, составляет 57°17'44",8 (т. е. один радиан).

Формулы перехода от одного измерения к другому:

a° = 180*a_рад / p;

a_рад = p*a° / 180°.

Алгебра

Формулы сокращенного умножения многочленов

1. (a + b)² = a² + 2*a*b + b² — квадрат суммы двух величин.
2. (a - b)² = a² - 2*a*b + b² — квадрат разности двух величин.
3. (a + b)*(a - b) = a² - b² — произведение суммы и разности двух величин.
4. (a + b)³ = a³ + 3*a²*b+ 3*a*b² + b³ — куб суммы двух величин.
5. (a - b)³ = a³ - 3*a²*b+ 3*a*b² - b³ — куб разности двух величин.
6. (a + b)*(a² - a*b + b²) = a³ + b³ — произведение суммы двух величин на “неполный квадрат разности”.
7. (a - b)*(a² + a*b + b²) = a³ - b³ — произведение разности двух величин на “неполный квадрат суммы”.
8. (a + b)ⁿ = aⁿ + n*a^n-1*b + n*(n - 1)*a^n-2*b² / (1*2) + n*(n-1)*(n-2)*a^n-3*b³ / (1*2*3) + ... + bⁿ.

Формулы для действия со степенями

1. (a*b*c...)ⁿ = aⁿ*bⁿ*cⁿ...
2. (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
3. aⁿ*a^m = a^n+m.
4. a^m / aⁿ = a^m-n.
5. (aⁿ)^m = a^n*m.

Решение квадратного уравнения

Полное приведенное квадратное уравнение:

x² + p*x + q = 0;

.

Неприведенное полное квадратное уравнение:

a*x² + b*x + c = 0;

.

или

.

Последнюю формулу удобнее употреблять при четном числе b.

Свойства корней квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = b / a = -p; x₁*x₂ = c / a = q.

Геометрия

Треугольник. Сумма двух сторон треугольника (рис. 51) всегда больше третьей

b + с > а.

Сумма углов треугольника

a + b + g = 180°.

Рис.51	Рис.52

Медианой треугольника (рис. 52) называется прямая, соединяющая вершину с серединой противолежащей ей стороны треугольника.

Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая его внутренний угол пополам. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону.

Два треугольника подобны при наличии одного из следующих условий:

1) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого;

2) два угла одного треугольника равны двум углам другого;

3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а заключенные между ними углы равны.

Площадь треугольника

S = 0,5*b*h_b = 0,5*a*b*sin g = 0,5*r*(a + b + c) = a*b*c / (4*R) = .

где r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

p = (a + b + c) / 2.

Площадь параллелограмма (рис. 53)

S = a*h

Ромб (рис. 54)

Рис.53	Рис.54

d₁ = 2*a*cos (a / 2); d₂ = 2*a*sin (a / 2);

d₁² + d₂² = 4*a².

S = a*h = a²*sin a = 0,5*d₁*d₂.

Четырехугольник (рис. 55)

a² + b² + c² + d² = d₁² + d₂² + 4*m²,

где m — отрезок, соединяющий середины диагоналей;

S = 0,5*d₁*d₂*sin a.

Рис.55	Рис.56

Трапеция (рис. 56)

m = 0,5*(а + b),

S = 0,5*(а + b)*h = m*h.

Трапеция равнобочна, если d = с. В этом случае

S = ( a - c*cos g )*c*sin g = ( b + c*cos g )*c*sin g.

Окружность

• C = 2*p*r » 6,283*r;
• ;
• C = p*d » 3,142*d;
• S = p*r² » 3,142*r²;
• S = p*d² / 4 » 0,785*d²;
• S = C*d / 4 » 0,25*C*d;
• r = C / 2*p » 0,159*C;
• ,

где r—радиус; d — диаметр; C — длина окружности.

Тригонометрия

Рис.57	Рис.58

Тригонометрические функции угла a (рис. 57 и 58) определяются при помощи тригонометрического круга (радиус R = 1), а также из прямоугольного треугольника (для острых углов):

• sin a (синус) = BC = a / c;
• cos a (косинус) = OB = b / c;
• tg a (тангенс) = AD = a / b;
• ctg a (котангенс) = EF = b / a;
• sec a (секанс) = OD = c / b;
• cosec (косеканс) = OF = c / a.

Функциям приписывается определенный знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга лежит подвижный радиус OC (см. табл. 29).

Пределы изменения:

sin и cos от -1 до +1 и ctg от - до + ;

sec и cosec от - до -1 и от +1 до + .

Таблица 30. Значения функций для некоторых углов.

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

0

1/6p

1/4p

1/3p

1/2p

2/3p

3/4p

5/6p

p

11/6p

11/4p

11/3p

11/2p

12/3p

13/4p

15/6p

2p

sin

0

1/2

1

1/2

0

-1/2

-1

-1/2

0

sin

cos

1

1/2

0

-1/2

-1

-1/2

0

1/2

1

cos

tg

0

1

-1

0

1

-1

0

tg

сtg

1

0

-1

1

0

-1

сtg

Если угол отрицательный, то функция приводится к функции, положительного угла по формулам:

• sin (- a) = - sin a;
• cos ( - a) = cos a.
• tg (- a) = - tg a;
• ctg (- a) = - ctg a.

Основные формулы тригонометрии

Функции одного угла:

sin² a + cos² a = 1; sin a / cos a = tg a; sin a * cosec a = 1;

sec² a - tg² a = 1; cos a / sin a = ctg a; cos a * sec a =1;

cosec² a - ctg² a = 1; tg a * ctg a = 1.

Выражение одной функции через другую (того же угла):

;

;

;

.

Функции суммы и разности двух углов:

sin (a ± b) = sin a*cos b ± cos a*sin b;

cos (a ± b) = cos a*cos b sin a*sin b;

tg (a ± b) = (tg a ± tg b) / (1 tg a*tg b);

ctg (a ± b) = (ctg a*ctg b 1) / (ctg b ± ctg a).

Функции кратных углов:

sin 2a = 2*sin a*cos a;

cos 2a = cos² a - sin² a;

tg 2a = 2*tg a / (1 - tg² a);

ctg 2a = (ctg² a - 1) / 2*ctg a;

sin 3a = 3*sin a - 4*sin³ a;

cos 3a = 4*cos³ a - 3*cos a;

sin 4a = 8*cos³ a * sin a - 4*cosa * sin a;

cos 4a = 8*cos⁴ a - 8* cos² a + 1.

Функции половинного угла:

;

;

;

.

Решение треугольников

Прямоугольный треугольник: a, b — катеты, c—гипотенуза, A, B — углы против сторон a и b.

Основные соотношения:

a = c * sin A = c * cos B;

a = b * tg A = b * ctg B.

Косоугольный треугольник: a, b, c — стороны, А, В, С — противолежащие им углы, S — площадь, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр.

P = 0,5*(a + b + c).

1) Основные соотношения:

теорема синусов:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2*R;

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2*b*c*cos A;

теорема тангенсов:

(a + b) / (a - b) = tg 0,5(A + B) / tg 0,5(A - B);

площадь треугольника:

S = 0,5*a*b*sin C = 2*R²*sin A*sin B*sin C = r*p =.

= .

2) Дополнительные соотношения:

tg A = a*sin B / (c - a*cos B);

;

;

.

Дано	Нахождение остальных элементов
Сторона и два угла (a, A, B)	C = 180° - A - B; b = a*sin B / sin A; c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Две стороны и угол между ними (a, b, C)	(A+ B) / 2 = 90° - C / 2; tg 0,5(A - B) = (a-b)*ctg 0,5C / (a+b); c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Две стороны и угол против одной из них (a, b, A)	sin B = b*sin A / a; C = 180° - (A + B); c = a*sin C / sin A; S = 0,5*a*b*sin C
Три стороны (a, b, c)	r = ; tg A / 2 = r / (p - a); tg B / 2 = r / (p - b); tg C / 2 = r / (p - c); S = r*p =

3) Вычисление линий, связанных с треугольником; Высота на сторону a:

h_a = b*sin C = c* sin B.

Медиана на сторону a:

.

Биссектриса угла А:

l_A = (b*c*cos A / 2) / (b + c).

Радиус описанной окружности:

R = a / 2*sin A = b / 2*sin B = c / 2*sin C.

Радиус вписанной окружности:

=

= p*tg A / 2*tg B / 2*tg C / 2 = 4*R*sin A / 2*sin B / 2*sin C / 2.

Сферическая тригонометрия

Основные свойства сферического треугольника (рис. 59)

Сумма углов A + B + C всегда больше 180°.

Разность (A + B + C) — p = s, выраженная в радианах, называется сферическим избытком.

Рис.59

Площадь сферического треугольника S = R2 *s, где R — радиус сферы; s — сферический избыток.

Формулы сферической тригонометрии

A, B и C - углы треугольника; a, b и c - стороны треугольника.

• sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C;
• cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A;
• cos A = - cos B * cos C + sin B * sin C * cos a;
• sin a * cos b = cos a * sin b * cos C + sin a * cos B;
• sin a * ctg b = ctg B * sin C + cos a * cos C;
• sin A * cos B = cos b * sin C - cos c * sin B * cos A;
• sin A * ctg B = sin c * ctg b - cos c* cos A.

Для решения прямоугольного сферического треугольника (a и b — катеты, c — гипотенуза, C = 90°) пользуются следующим правилом: катеты сферического треугольника заменяют их дополнением до 90°; последовательно пять элементов треугольника A, C, B, 90° — a и 90 — b, не принимая во внимание прямой угол C, располагают по кругу (рис. 60).

Рис.60

1. Косинус каждого элемента равен произведению котангенсов двух прилежащих к нему элементов, например: A = ctg(90 - b)*ctg c

2. Косинус каждого элемента равен произведению синусов двух неприлежащих элементов, например:

cos(90 - a) = sin c*sin A.

Римские цифры

Кроме обычных, так называемых арабских цифр, для обозначения чисел используются римские цифры. Они применяются на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, томов сочинений, порядковых номеров съездов, конференций и т. д.

Знаки римской системы

• I — 1
• V — 5
• X — 10
• L — 50
• С — 100
• D — 500
• М — 1000

Все остальные числа составляются из этих знаков по следующим правилам:

1. Знак, стоящий слева от указанных выше знаков, уменьшает смежный с ним справа знак, больший по числовому значению, например:

• IV — 4
• XL — 40
• IX — 9
• VL — 45

2. Знак, стоящий справа от других знаков, увеличивает числовые значения их, например:

• VI — 6
• LV — 55
• XV — 15
• LХ — 60

3. При повторении знака необходимо значение его прибавить к стоящим слева знакам, сумма всех знаков дает указанное ими число, например:

• XX —20
• ССС —300
• XXX —30
• ММ —2000

4. Примеры составления некоторых чисел:

• 18 — XVIII
• 400 — СD
• 29 — XXIX
• 800 — DССС
• 80 — LХХХ
• 1949 — МСМХLIХ
• 99 — IС
• 1941 — МСМХLI

Физика и механика

Единицы измерений в механике и физике

Движение

1. Равномерное движение

Движение называется равномерным, если в любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые отрезки траектории.

Скорость равномерного движения равна отношению пройденного пути S к времени t:

v = S / t.

2. Равноускоренное движение

Равноускоренным называется движение, при котором "значение скорости все время увеличивается пропорционально времени,

v = v₀ + a*t;

S = v₀*t + a*t² / 2,

где v₀ — начальная скорость;

a — ускорение.

Основные законы динамики

1. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока этому не воспрепятствуют внешние действующие на тело силы (закон инерции).

2. Ускорение, сообщаемое телу данной силой, прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела.

3. Всякое действие одного тела на другое равно по величине и прямо противоположно по направлению противодействию второго тела, приложенному к первому телу (закон равенства действия и противодействия).

Основное уравнение динамики

Сила (F) равна произведению массы (m) на ускорение (а):

F = m*a.

Работа

Сила F, передвигающая тело по некоторому пути S, производит работу; при этом, если направление силы совпадает с направлением движения, то

A =F*S,

если же направление силы с направлением движения составляет угол a, то

A = F*S*соs a.

Мощность

Мощность — способность двигателя произвести работу в единицу времени

W = A / t.

Удельный вес

Удельным весом (d) вещества называется вес этого вещества в объеме 1 куб. см.

Плотность

Плотностью называется масса вещества в объеме 1 см³.

Теплоемкость

Теплоемкостью данного тела называется количество теплоты, необходимое для нагревания этого тела на 1° C.

Единица силы тока

За единицу силы тока принят ампер — сила постоянного тока, который, проходя через водный раствор азотнокислого серебра, отлагает в одну секунду 1,118 мг чистого серебра.

Количество электричества (Q) — произведение силы тока I в амперах на время в секундах

Q = I*t.

Сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению V и обратно пропорциональна сопротивлению r

I = V / r.

Для полной сети, имеющей генератор с ЭДС, равной Е, сила тока равна

I = E / (r + r₁) = E / R,

где r₁ — сопротивление генератора;

r — сопротивление цепи.

Сопротивление провода (при t = const) прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения (S)

r = r*l / S,

где r — удельное сопротивление данного вещества в 1 м длины и 1 мм² поперечного сечения.

Сопротивление при различных соединениях

Если проводники соединены последовательно, то их общее сопротивление равно сумме отдельных сопротивлений

R = r₁ + r₂ + ... + r_n.

При параллельном соединении общее сопротивление выражается формулой:

1 / R = 1 / r₁ + 1 / r₂ + ... + 1 / r_n.

Работа электрического тока выражается формулой:

A = J²*r*V = J*t*V.

Мощность тока

W = A / t = J*V.